Ganz einfach: indem man gewählt wird.

Das Prozedere geht wie folgt:
der Vorsitzende wird gewählt, seine sechs Stellvertreter werden gewählt. Scheidet der Vorsitzende aus wird einer der sechs Stellvertreter zum Nachfolger, bis ein neuer gewählt wird.

Man kann aber nicht von irgendwem ernannt werden, auch nicht kommissarisch, selbst dann, wenn sich der komplette Vorstand das wünscht:

http://www.spiegel.de/politik/deutschland/spd-andrea-nahles-soll-am-dienstag-zur-kommissarischen-parteichefin-ernannt-werden-a-1192884.html, abgerufen am 12.02.2018

Derzeit zum Vorstand gehören:
DORIS AHNEN; NIELS ANNEN; DR. KATARINA BARLEY; LENI BREYMAIER; MARTIN DULIG; MICHAELA ENGELMEIER; DR. WIEBKE ESDAR; KLARA GEYWITZ; KERSTIN GRIESE; ULI GRÖTSCH; MICHAEL GROSCHEK; HUBERTUS HEIL; DR. EVA HÖGL; OLIVER KACZMAREK; DANIELA KOLBE; GABRIELE LÖSEKRUG-MÖLLER; HEIKO MAAS; CHRISTOPH MATSCHIE; SERPIL MIDYATLI; DR. MATTHIAS MIERSCH; MICHAEL MÜLLER; AYDAN ÖZUGUZ; DR. KATJA PÄHLE; BORIS PISTORIUS; ANKE REHLINGER
MICHAEL ROTH; SARAH RYGLEWSKI; DAGMAR SCHMIDT; SVENJA SCHULZE; ALEXANDER SCHWEITZER; DR. CARSTEN SIELING; JOHANNA UEKERMANN
SASCHA VOGT; UTE VOGT; DR. DIETMAR WOIDKE

Siehe auch: https://www.spd.de/partei/personen/parteivorstand/, abgerufen am 12.02.2018

Der aktuelle Vorsitzende ist Martin Schulz, und das sind seine sechs Stellvertreter:
MALU DREYER; NATASCHA KOHNEN; THORSTEN SCHÄFER-GÜMBEL; OLAF SCHOLZ; MANUELA SCHWESIG; RALF STEGNER; LARS KLINGBEIL; DIETMAR NIETAN
UDO BULLMANN; NANCY BÖHNING

Siehe auch: https://www.spd.de/partei/personen/, abgerufen am 12.02.2018

Nicht dazu gehören u.a. Angela Merkel, Anetta Kahane, mein Kater Tiger und Andrea Nahles.

Und weil das so ist kann weder Frau Merkel, noch mein Kater und auch nicht Andrea Nahles von irgendwem zum Parteivorsitzenden ernannt werden, auch nicht kommissarisch. Der Vorstand kann sich auch nicht selber erweitern, ohne Parteitag geht das nicht.

Und Schulz wurde erst im Dezember im Amt bestätigt.

Siehe auch: https://www.abendblatt.de/politik/article212769331/81-9-Prozent-Parteitag-bestaetigt-Martin-Schulz-als-SPD-Chef.html, abgerufen am 12.02.2018

Und wer das nicht glauben mag, dem sei das SPD-Statut empfohlen, da steht es drin:
https://www.spd.de/fileadmin/Dokumente/Parteiorganisation/SPD_OrgaStatut_2018.pdf, §23, S. 30 bis 32

Update:
Die SPD hat das Heft mit ihrer Satzung wiedergefunden!

Schulz ist zurück getreten, doch statt Nahles wird Scholz kommissarisch den Vorsitz der SPD führen. Parteitag dann am 22.04.2018 in Wiesbaden.

Außerdem gibt es gute Nachrichten: eine Bürgermeisterin Simone Lange will sich ebenfalls um den Vorsitz bewerben. Ich vermute mal, dass Nahles ihre Schärgen und Bluthunde auf die Frau hetzen wird, aber bei dem Zustand der SPD kann man nichts ausschließen. Und 100 mal sympathischer als die fette Keifzicke Nahles ist die Frau allemal. Allemal!

Siehe auch: http://www.zeit.de/politik/deutschland/2018-02/simone-lange-spd-parteivorsitz-gegenkandidatin-andrea-nahles, abgerufen am 13.02.2018